Question

15．已知F是抛物线C：y²=8x的焦点，直线y=kx-3k与C交于M，N两点，与C的准线相交于点P，|$\overrightarrow{MF}$|=4，且$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MN}$（λ∈R），则λ=（　　）

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{7}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 设M点坐标为：M（x₀，y₀），y₀＞0，由抛物线的性质可知：x₀+p=x₀+2=4，即可求得x₀=2，求得M点坐标，代入直线方程，即可求的k，求得直线MN方程，代入抛物线方程，求得N点坐标，将x=-2时，y=20，求得P点坐标，由$\overrightarrow{PM}$=（4，-16），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{5}{2}$，-10），由$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MN}$（λ∈R），即4=λ•$\frac{5}{2}$，可求得λ的值．

解答 解：抛物线C：y²=8x的焦点，焦点F（2，0），准线方程：x=-2，
设M点坐标为：M（x₀，y₀），y₀＞0，
由|$\overrightarrow{MF}$|=4，则x₀+p=x₀+2=4，解得：x₀=2，
∴y₀=$\sqrt{8{x}_{0}}$=4，
∴M（2，4），
由M在直线y=kx-3k，代入则4=2k-3k，解得：k=-4，
∴直线MN：y=-4（x-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-4（x-3）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，整理得：y²+2y-24=0，解得：y=-6或y=4（舍去），
当y=-6，解得：x=$\frac{9}{2}$，
∴N（$\frac{9}{2}$，-6），
由直线MN：y=-4（x-3），与C的准线相交于点P，即当x=-2时，解得：y=20，
∴P（-2，20），
则$\overrightarrow{PM}$=（4，-16），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{5}{2}$，-10），
由$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MN}$（λ∈R），
∴4=λ•$\frac{5}{2}$，解得：λ=$\frac{8}{5}$，
故选A．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的性质，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．