Question

3．已知函数f（x）=$|\begin{array}{l}{{e}^{x}-1}&{-2}\\{1}&{{e}^{x}+2}\end{array}|$，其中$|\begin{array}{l}{x-3}&{-1}\\{2}&{4-x}\end{array}|$≥0，则函数f（x）的值域为[e⁴+e²，e¹⁰+e⁵]．

Answer 1

分析 根据行列式运算可得：f（x）=（e^x）²+e^x，x∈[2，5]；利用换元法与二次函数单调性可求出f（x）值域范围．

解答 解：根据行列式运算：f（x）=$|\begin{array}{l}{{e}^{x}-1}&{-2}\\{1}&{{e}^{x}+2}\end{array}|$=（e^x）²+e^x；
$|\begin{array}{l}{x-3}&{-1}\\{2}&{4-x}\end{array}|$=-x²+7x-10≥0 可解得：x∈[2，5]；
令t=e^x∈[e²，e⁵]；
则 g（t）=t²+t；
函数g（t） 开口朝上，对称轴为：t=$-\frac{1}{2}$，则可知函数g（t）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上函数单调递增；
故g（t）_min=e⁴+e²，g（t）_max=e¹⁰+e⁵；
故答案为：[e⁴+e²，e¹⁰+e⁵]

点评 本题主要考查了行列式基础运算，以及换元法与二次函数性质，属基础题．