Question

2．求下列情况下的概率．
（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求使得方程x²+ax+b²=0有实根的概率；
（2）在区间[0，1]内随机取两个数，分别记为a，b，求使得方程x²+ax+b²=0有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件根据分步计数原理知是36，满足条件的事件：方程无实根，则△=a²-4b²≥0即a≥2b，通过列举法得到所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式求出值；
（2）试验发生包含的事件是在区间[0，1]上任取两个数a和b，写出事件对应的集合，做出面积，满足条件的事件是关于x的方程x²+ax+b²=0有实数根，根据二次方程的判别式写出a，b要满足的条件，写出对应的集合，做出面积，得到概率．

解答 解：（1）基本事件总数为：6×6=36
若方程有实根，则△=a²-4b²≥0即a≥2b，
若a=2，则b=1；若a=3，则b=1；若a=4，则b=1，2，
若a=5，则b=1，2[若a=6，则b=1，2，3；
∴目标事件个数为9，
因此方程x²+ax+b²=0有实根的概率为$\frac{9}{36}$=$\frac{1}{4}$；
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
∵试验发生包含的事件是在区间[0，1]上任取两个数a和b，
事件对应的集合是Ω={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1}
对应的面积是s_Ω=1
满足条件的事件是关于x的方程x²+2ax+b²=0有实数根，
即a²-4b²≥0，
∴a≥2b，
事件对应的集合是A={（a，b）|0≤a≤1，0≤b≤1，a≥2b}
对应的图形的面积是s_A=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{4}$，
∴根据等可能事件的概率得到P=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查古典概型、几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．