Question

9．如果定义在R上的函数f（x），对任意x₁≠x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂（fx₁），则称函数为“H函数”，给出下列函数
①f（x）=3x+1      ②f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+1
③f（x）=x²+1      ④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{x}，x＜-1}\\{{x}^{2}+4x+5，x≥-1}\end{array}\right.$ 
其中是“H函数”的有①④（填序号）

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]≥0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的不减函数（即无递减区间）；
①f（x）在R递增，符合题意；
②f（x）在R递减，不合题意；
③f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，不合题意；
④f（x）在R递增，符合题意；
故答案为：①④．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．