Question

1．在△ABC中，a²+c²=b²+$\sqrt{2}$ac．
（1）求∠B 的大小；
（2）求cosA+$\sqrt{2}$cosC的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据已知和余弦定理，可得cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进而得到答案；
（2）由（1）得：C=$\frac{3π}{4}$-A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+$\sqrt{2}$cosC的最大值．

解答 解：（1）∵a²+c²=b²+$\sqrt{2}$ac，可得：a²+c²-b²=$\sqrt{2}$ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}ac}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{4}$．
（2）由（1）得：C=$\frac{3π}{4}$-A，
∴cosA+$\sqrt{2}$cosC=cosA+$\sqrt{2}$cos（$\frac{3π}{4}$-A）
=cosA-cosA+sinA
=sinA．
∵A∈（0，$\frac{3π}{4}$），
∴故当A=$\frac{π}{2}$时，sinA取最大值1，即cosA+$\sqrt{2}$cosC的最大值为1．

点评 本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，属于中档题．