Question

10．命题“?x₀∈R，asinx₀+cosx₀≥2”为假命题，则实数a的取值范围是（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 原命题为假命题，则原命题的否定为真命题，命题否定为：?x₀∈R，asinx₀+cosx₀＜2；求出原命题否定的a取值范围即可．

解答 解：原命题“?x₀∈R，asinx₀+cosx₀≥2”为假命题，
则原命题的否定为真命题，
命题否定为：?x₀∈R，asinx₀+cosx₀＜2；
asinx₀+cosx₀=$\sqrt{{a}^{2}+1}$ sin（x₀+θ）＜2；
则：$\sqrt{{a}^{2}+1}$＜2⇒-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$；
也即：原命题否定为真命题时，a∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）；
故原命题为假时，a的取值范围为∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
故答案为：（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了命题与命题的否定之间的转换关系，以及转化思想的应用，属中等题．