Question

19．函数y=a^x，x∈[-1，2]的最大值与函数f（x）=x²-2x+3的最值相等，则a的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$或2
• C． $\frac{1}{2}$或2
• D． $\frac{1}{2}或\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根据二次函数的性质求出函数的最小值为2，再根指数函数的单调性得到函数的最大值，需要分类讨论，即可求出a的值．

解答 解：f（x）=x²-2x+3=（x+1）²+2≥2，
当a＞1时，函数y=a^x，x∈[-1，2]的最大值a²，
此时a²=2，解得a=$\sqrt{2}$，
当0＜a＜1时，函数y=a^x，x∈[-1，2]的最大值$\frac{1}{a}$，
此时$\frac{1}{a}$=2，解得a=$\frac{1}{2}$
综上所述a的值为$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了指数函数和二次函数的性质，以及函数的最值问题，属于中档题．