Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若$\frac{c}{sinB}$+$\frac{b}{sinC}$=2a，b=$\sqrt{2}$，则△ABC面积是1．

Answer 1

分析 利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin²C（sinB-cosB）²+sin²B（sinC-cosC）²=0，进而可求sinB=cosB，sinC=cosC，可得：B=C=45°，由已知利用三角形的面积公式即可得解．

解答 解：∵$\frac{c}{sinB}$+$\frac{b}{sinC}$=2a，可得：$\frac{sinC}{sinB}+\frac{sinB}{sinC}=2sinA$，
∴$\frac{si{n}^{2}C+si{n}^{2}B}{sinBsinC}$=2sinA，
∴sin²C+sin²B=2（sinBcosC+cosBsinC）sinBsinC=2sin²BsinCcosC+2sin²CsinBcosB，
∴sin²C（1-2sinBcosB）+sin²B（1-2sinCcosC）=0，
∴sin²C（sinB-cosB）²+sin²B（sinC-cosC）²=0，
∴sinB=cosB，sinC=cosC，可得：B=C=45°，
又∵b=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$）²=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．