Question

4．已知函数f（x）=log_a（x+m），g（x）=log_a（1-x）其中a＞1．若函数F（x）=f（x）-g（x）的零点是0
（1）求m 的值及函数F（x）定义域；
（2）判断F（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求使F（x）＞0成立的x的集合．

Answer 1

分析 （1）令F（0）=0列方程计算m，得出F（x）的解析式，根据真数大于零列不等式组求出定义域；
（2）计算F（-x），利用对数的运算性质得出F（-x）和F（x）的关系即可得出结论；
（3）利用对数的单调性列出不等式解出x．

解答 解：（1）F（x）=log_a（x+m）-log_a（1-x）=log_a$\frac{x+m}{1-x}$，
∵F（0）=log_am=0，
∴m=1，
∴F（x）=log_a$\frac{x+1}{1-x}$，
由F（x）有定义得$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，
∴F（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）函数的定义域为{x|-1＜x＜1}，关于原点对称．
F（-x）=log_a$\frac{1-x}{1+x}$=-log_a$\frac{1+x}{1-x}$=-F（x），
∴F（-x）=-F（x），
∴F（x）是奇函数．
（3）∵F（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，
∴log_a（x+1）＞log_a（1-x），
∵a＞1，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\\{x+1＞1-x}\end{array}\right.$，解得0＜x＜1．
∴当 a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．

点评 本题考查了对数函数的性质，函数奇偶性的判断，单调性的应用，属于中档题．