Question

19．已知全集为实数集R，集合A={x|y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{3-x}$}，B={x|2^x＞4}
（ I）分别求A∪B，A∩B，（∁_UB）∪A
（ II）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （ I）化简集合A，B，根据集合的基本运算即可求A∪B，A∩B，（∁_UB）∪A
（ II）根据C⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（ I）全集为实数集R，集合A={x|y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{3-x}$}，B={x|2^x＞4}
∵$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{3-x≥0}\end{array}\right.$，
∴1≤x≤3，
故得集合A={x|1≤x≤3}，
∵2^x＞4，
∴x＞2
故得集合B={x|x＞2}，
∁_UB═{x|x≤2}，
∴A∪B={x|1≤x}
A∩B={x|3≥x＞2}
（∁_UB）∪A═{x|x≤3}，
（Ⅱ）集合C={x|1＜x＜a}，
∵C⊆A，
当c=∅时，满足题意，此时a≤1．
当c≠∅时，要使C⊆A成立，
则需$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤3}\end{array}\right.$，
即1＜a≤3
故得实数a的取值范围（1，3]．

点评 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．