Question

16．过点M（-2，0）的直线l与双曲线x²-2y²=2交于P₁，P₂线段P₁P₂的中点为P．设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意设直线l的方程为：y=k₁（x+2），代入双曲线方程，由韦达定理求得x₁+x₂=$\frac{8{k}_{1}^{2}}{1-2{k}_{1}^{2}}$，则y₁+y₂=k₁（x₁+x₂+4）=$\frac{4{k}_{1}}{1-2{k}_{1}^{2}}$，根据中点坐标公式求得P点坐标，根据直线的斜率公式即可求得直线OP的斜率为k₂，即可求得k₁k₂的值．

解答 解：设直线l的方程为：y=k₁（x+2），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x+2）}\\{{x}^{2}-2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，整理得：（1-2k₁²）x²-8k₁²x-8k₁²-2=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}_{1}^{2}}{1-2{k}_{1}^{2}}$，
而y₁+y₂=k₁（x₁+x₂+4）=$\frac{4{k}_{1}}{1-2{k}_{1}^{2}}$，
由中点坐标公式可知：P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），即P（$\frac{4{k}_{1}^{2}}{1-2{k}_{1}^{2}}$，$\frac{2{k}_{1}}{1-2{k}_{1}^{2}}$）
∴OP的斜率k₂=$\frac{\frac{2{k}_{1}}{1-2{k}_{1}^{2}}}{\frac{4{k}_{1}^{2}}{1-2{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{1}{2{k}_{1}}$，
∴k₁k₂=k₁×$\frac{1}{2{k}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴k₁k₂=$\frac{1}{2}$，
故选D．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查线段的中点坐标公式，考查韦达定理，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．