Question

12．已知函数f（x）=a^3x+1，g（x）=（$\frac{1}{a}$）^5x-2，其中a＞0，且a≠1．
（1）若0＜a＜1，求满足f（x）＜1的x的取值范围；
（2）求关于x的不等式f（x）≥g（x）的解集．

Answer 1

分析 （1）由f（x）＜1，即a^3x+1＜1=a⁰，由0＜a＜1，则f（x）=a^3x+1，在（-∞，+∞）上单调递减，因此3x+1＞0，解得：x＞-$\frac{1}{3}$，即可求得f（x）＜1的x的取值范围；
（2）由不等式f（x）≥g（x），即a^3x+1≥（$\frac{1}{a}$）^5x-2=a^2-5x，则0＜a＜1时，函数f（x）=a^x在R单调递减，则3x+1≤2-5x，解得：x≥$\frac{1}{8}$，同理当x＞1时，即可求得不等式f（x）≥g（x）的解集．

解答 解：（1）f（x）=a^3x+1，0＜a＜1，
由f（x）＜1，即a^3x+1＜1=a⁰，
由0＜a＜1，
∴f（x）=a^3x+1，在（-∞，+∞）上单调递减，
∴3x+1＞0，解得：x＞-$\frac{1}{3}$，
∴满足f（x）＜1的x的取值范围（-$\frac{1}{3}$，+∞）；
（2）由不等式f（x）≥g（x），即a^3x+1≥（$\frac{1}{a}$）^5x-2=a^2-5x，
当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x在R单调递减，
∴3x+1≤2-5x，解得：x≤$\frac{1}{8}$，
当a＞1时，函数f（x）=a^x在R单调递增，
3x+1≥2-5x，解得：x≥$\frac{1}{8}$，
故当0＜a＜1时，解集为：{x丨x≤$\frac{1}{8}$}；当a＞1时，解集为：{x丨x≥$\frac{1}{8}$}

点评 本题考查指数函数的性质，考查指数函数单调性的应用，考查计算能力，属于基础题．