Question

抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为2．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）如图，为抛物线上三点，且线段，， 与轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若的面积是面积的，求直线的方程．

Answer 1

（本题15分）:（Ⅰ）解：设， 则，，
由抛物线定义，得所以．             ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，．
设，， （均大于零） ……6分
，， 与轴交点的横坐标依次为．
（1）当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去．
……7分
（2）与轴不垂直时，，
设直线的方程为，即，
令得2，同理2，2，               ……10分
因为依次组成公差为1的等差数列，
所以组成公差为2的等差数列．　　　　　　　　　   ……12分
设点到直线的距离为，点到直线的距离为，
因为，所以=2，
所以　　    　……14分
得，即，所以，
所以直线的方程为：             　　      ……15分
解法二：（Ⅰ）同上．     （Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，．
由题意，设与轴交点的横坐标依次为
设， （均大于零）．                 ……6分
（1）当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去．
……7分
（2）与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，
同理直线的方程为，
由　得　
则 所以，                        ……12分
同理，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，    因为，所以=2，
所以 ……14分
化简得，即，
所以直线的方程为：             　　      ……15分

略