Question

【题目】祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等. 祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体. (圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)

利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在x-O-y坐标系中，设抛物线C的方程为y=1－x2 (－1x1)，将曲线C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体. 利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为_________.

Answer 1

【答案】

【解析】分析：构造直三棱柱，证明二者截面面积相等，从而求出三棱柱体积，即可得到抛物体的体积.

详解：构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直边长为2,1

若底面积相等得到：，

下面说明截面面积相等，设截面距底面为t，矩形截面长为a，圆形截面半径为r，

由左图得到，，∴，∴截面面积为

由右图得到，（坐标系中易得），∴，∴截面面积为

∴二者截面面积相等，∴体积相等.

∴抛物体的体积为.