【题目】设函数.
(Ⅰ)若是函数
的极值点,
和
是函数
的两个不同零点,且
,
,求
;
(Ⅱ)若对任意,都存在
(
为自然对数的底数),使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】
试题(Ⅰ)运用极值的定义进行分析和推证;(Ⅱ)借助题设条件运用导数的知识分类求解.
试题解析:
(Ⅰ),
是函数
的极值点,
.
是函数
的零点,得
,由
解得
,
.
,
,
令,
,得
;
令得
,所以
在
上单调递减;在
上单调递增
故函数至多有两个零点,其中
,
,
因为,
,所以
,故
.
(Ⅱ)令,
,则
为关于
的一次函数且为增函数,
根据题意,对任意,都存在
,使得
成立,则
在
上有解,
令,只需存在
使得
即可,
由于,令
,
,
,
在
上单调递增,
,
①当,即
时,
,即
,
在
上单调递增,
,不符合题意.
②当,即
时,
,
若,则
,所以在
上
恒成立,即
恒成立,
在
上单调递减,
存在
,使得
,符合题意.
若,则
,
在
上一定存在实数
,使得
,
在
上
恒成立,即
恒成立,
在
上单调递减,
存在
,使得
,符合题意.
综上所述,当时,对任意
,都存在
,使得
成立
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【题目】某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分,分值高者为优),分别绘制了如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下列叙述错误的是( )
A.甲的六大能力中推理能力最差B.甲的创造力优于观察能力
C.乙的计算能力优于甲的计算能力D.乙的六大能力整体水平低于甲
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【题目】设椭圆(
)的离心率为
,圆
与
轴正半轴交于点
,圆
在点
处的切线被椭圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设圆上任意一点
处的切线交椭圆
于点
,试判断
是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】下列说法错误的是( )
A.自变量取值一定时,因变量的取值有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B.在线性回归分析中,相关系数越大,变量间的相关性越强
C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高
D.在回归分析中,为
的模型比
为
的模型拟合的效果好
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为
(其中
为参数).现以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)过点,且与直线
平行的直线
交
于
两点,求
.
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【题目】某公司印制了一批文化衫,每件文化衫可有红、黄、蓝三种不同的颜色和四种不同的图案.现将这批文化衫分发给名新员工,每名员工恰好分到图案不同的4件.试求
的最小值,使得总存在两个人,他们所分到的某两种图案的4件文化衫的颜色全部相同.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为
,
为参数
,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
求曲线
的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
若射线l:
与曲线
,
的交点分别为A,
B异于原点
,求
的取值范围.
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【题目】祖暅是我国古代的伟大科学家,他在5世纪末提出祖暅:“幂势即同,则积不容异”,意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等. 祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积,例如由圆锥和圆柱的的体积推导半球体的体积,其示意图如图所示,其中图(1)是一个半径为R的半球体,图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体. (圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)
利用类似的方法,可以计算抛物体的体积:在x-O-y坐标系中,设抛物线C的方程为y=1-x2 (-1x
1),将曲线C围绕y轴旋转,得到的旋转体称为抛物体. 利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为_________.
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