【题目】设椭圆
(
)的离心率为
，圆
与
轴正半轴交于点
，圆
在点处的切线被椭圆
截得的弦长为
．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设圆上任意一点
处的切线交椭圆于点
，试判断
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】（1）
； （2）见解析.
【解析】
（I）结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可。（II）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示
，结合三角形相似，证明结论，即可。
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
，由椭圆的离心率为
知，
，
∴椭圆
的方程可设为
.
易求得
，∴点
在椭圆上，∴
，
解得
，∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)当过点
且与圆
相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为
，由(Ⅰ)知，
，
，∴
.
当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为
，
，
∴
，即
.
联立直线和椭圆的方程得
，
∴
，得
.
∵
，
∴
，
，
∴.
综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点
，都有.
在
中，由
与
相似得，
为定值.
名题金卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知焦点在x轴的椭圆C：
离心率e=
，A是左顶点，E（2，0）
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
.
（Ⅰ）当a＝1时，写出
的单调递增区间（不需写出推证过程）；
（Ⅱ）当x＞0时，若直线y＝4与函数的图像交于A，B两点，记
，求
的最大值；
（Ⅲ）若关于x的方程
在区间（1，2）上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为
、
、
、
、
五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：
（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为
的人数；
（2）若等级
、
、
、
、
分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？
（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为
的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..
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