【题目】已知函数.
(Ⅰ)当a=1时,写出的单调递增区间(不需写出推证过程);
(Ⅱ)当x>0时,若直线y=4与函数的图像交于A,B两点,记
,求
的最大值;
(Ⅲ)若关于x的方程在区间(1,2)上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.
【答案】(1)递增区间为; (2)4; (3)
.
【解析】
(Ⅰ)当时,
,由此能求出
的单调递增区间;
(Ⅱ)由,得当
时,y=f(x)的图象与直线y=4没有交点;当a=4或a=0时,y=f(x)的图象与直线y=4只有一个交点;当
时,
;当
时,由
,得
,由
,得
,由此能求出
的最大值;
(Ⅲ)要使关于x的方程有两个不同的实数根
,则
,且
,根据
,且
进行分类讨论能求出
的取值范围.
(Ⅰ)f(x)的单调递增区间为.
(Ⅱ)因为x>0,所以(i)当a>4时,y=f(x)的图像与直线y=4没有交点;
(ii)当a=4或a=0时,y=f(x)的图像与直线y=4只有一个交点;
(iii)当0<a<4时,0<g(a)<4;
(iv)当a<0时,由
得,
解得;
由,
得
解得.
所以.
故的最大值是4.
(Ⅲ)要使关于x的方程 (*)
有两个不同的实数根,则
.
(i)当a>1时,由(*)得,
所以,不符合题意;
(ii)当0<a<4时,由(*)得,其对称轴
,不符合题意;
(iii)当a<0,且a-1时,由(*)得
,
又因,所以a<-1.
所以函数在
是增函数,
要使直线与函数
图像在(1,2)内有两个交点,
则,
只需
解得.
综上所述,a的取值范围为.
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【题目】在平行四边形中,
,
,
,
是EA的中点(如图1),将
沿CD折起到图2中
的位置,得到四棱锥是
.
(1)求证:平面PDA;
(2)若PD与平面ABCD所成的角为.且
为锐角三角形,求平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值.
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【题目】某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分,分值高者为优),分别绘制了如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下列叙述错误的是( )
A.甲的六大能力中推理能力最差B.甲的创造力优于观察能力
C.乙的计算能力优于甲的计算能力D.乙的六大能力整体水平低于甲
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【题目】为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名青少年进行调查,得到如下列联表:
常喝 | 不常喝 | 总计 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
总计 | 30 |
已知从这30名青少年中随机抽取1名,抽到肥胖青少年的概率为.
(1)请将列联表补充完整;(2)是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关?
独立性检验临界值表:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中n=a+b+c+d.
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【题目】某市10000名职业中学高三学生参加了一项综合技能测试,从中随机抽取100名学生的测试成绩,制作了以下的测试成绩(满分是184分)的频率分布直方图.
市教育局规定每个学生需要缴考试费100元.某企业根据这100000名职业中学高三学生综合技能测试成绩来招聘员工,划定的招聘录取分数线为172分,且补助已经被录取的学生每个人元的交通和餐补费.
(1)已知甲、乙两名学生的测试成绩分别为168分和170分,求技能测试成绩的中位数,并对甲、乙的成绩作出客观的评价;
(2)令表示每个学生的交费或获得交通和餐补费的代数和,把
用
的函数来表示,并根据频率分布直方图估计
的概率.
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【题目】设椭圆(
)的离心率为
,圆
与
轴正半轴交于点
,圆
在点
处的切线被椭圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设圆上任意一点
处的切线交椭圆
于点
,试判断
是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为
,
为参数
,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
求曲线
的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
若射线l:
与曲线
,
的交点分别为A,
B异于原点
,求
的取值范围.
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