Question

【题目】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于.

（1）求证：；

（2）设，当时，求的面积的最小值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）设直线的方程为，代入抛物线方程中，根据韦达定理和直线的斜率公式，以及导数的几何意义，可求出点E的坐标，根据斜率的关系即可证明；（2）根据向量结合韦达定理可得，再根据弦长公式求三角形的面积公式表示出，根据函数的性质即可求出最小值．

（1）显然斜率存在，设直线的方程，

代入抛物线方程中，得，

设，由韦达定理得到，

∵，∴，∴直线的斜率为，

易知切线方程，切线的方程，

当时，联立求得：，故，

. ，∴，

又当时，显然有.

所以.

（2）由，得，结合韦达定理，

，从而，

又，，

，

由于在区间上为减函数，

因此当有最小值.