Question

【题目】已知函数f（x）=loga（x+1）+loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），且f（1）=2
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）若不等式f（x）≤c的恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（1）=loga2+loga2=2，解得a=2．

∴f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x），

由 ，解得﹣1＜x＜3，

可得函数f（x）的定义域为：（﹣1，3）

（2）解：由（1）可知：f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x）=log2（x+1）（3﹣x）= = ，

可知：当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=log24=2．

由不等式f（x）≤c的恒成立，∴c≥2．

∴实数c的取值范围是[2，+∞）

【解析】（1）由f（1）=loga2+loga2=2，解得a=2．可得f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x），由 ，可得函数f（x）的定义域．（2）由（1）可知：f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x）=log2（x+1）（3﹣x）= ，利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解对数的运算性质(①加法：②减法：③数乘：④⑤)．