Question

6．对于定义域为D的函数f（x），如果满足存在区间[a，b]⊆D使得f（x）在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]（k∈N^*），那么函数f（x）叫做[a，b]上的“k级矩形”函数．
（1）设函数f（x）=x³（x∈R）是[a，b]上的“1级矩形”函数，求常数a，b的值；
（2）证明：函数g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）不是“k级矩形”函数．

Answer 1

分析 （1）根据题意f（x）=x³的定义域和值域都是[a，b]，而该函数为增函数，从而可得到$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，这便看出a，b为方程x³=x的不等实根，且a＜b，从而便可求出a，b的值；
（2）可考虑反证法：假设g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）为“k级矩形“函数，而看出g（x）在（-2，+∞）上为减函数，从而有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a+2}=kb}\\{\frac{1}{b+2}=ka}\end{array}\right.$，可知g（x）≠0，从而ab≠0，这样这两式相除即可求得a=b，这便与a＜b矛盾，说明假设不成立，从而得出结论成立．

解答 解：（1）因为f（x）是“1级矩形”函数，所以f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]；
又因为f（x）在R上单调递增，所以$\left\{\begin{array}{l}f（a）=a\\ f（b）=b\end{array}\right.$，即a，b为方程f（x）=x的两个不等实数根；
由f（x）=x³=x知x=-1，x=0，x=1，又因为a＜b；
所以$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=0\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=1\end{array}\right.$；
（2）证明：假设函数g（x）是“k级矩形”函数；
即存在区间[a，b]⊆（-2，+∞），使得g（x）的值域为[ka，kb]（k∈N^*）；
易知g（x）在（-2，+∞）单调递减，所以$\left\{\begin{array}{l}f（a）=kb\\ f（b）=ka\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a+2}=kb}\\{\frac{1}{b+2}=ka}\end{array}\right.$；
因为$g（x）=\frac{1}{x+2}≠0$，所以ab≠0；
两式相除得：$\frac{b+2}{a+2}=\frac{b}{a}$，即ab+2a=ab+2b，得a=b；
与a＜b相矛盾所以假设不成立，原命题成立．

点评 考查函数定义域、值域的概念，根据函数单调性求函数值域的方法，以及对“k级矩形”函数的理解，清楚函数f（x）=x³和$g（x）=\frac{1}{x+2}$函数的单调性，以及反证法在证明一个结论成立时的运用．