Question

10．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，左右顶点分别为A₁，A₂，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF_i（i=1，2）为直径的圆与以A₁A₂为直径的圆的位置关系为内切．

Answer 1

分析 设PF₁的中点为M，可得以线段PF_i（i=1，2）为直径的圆与以A₁A₂为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM=$\frac{1}{2}P{F}_{2}=\frac{1}{2}（2a-P{F}_{1}）$=a-$\frac{1}{2}P{F}_{1}$，即可

解答 解：如图，设PF₁的中点为M，可得以线段PF_i（i=1，2）为直径的圆与以A₁A₂为直径的圆的圆心距为OM，
根据中位线的性质得OM=$\frac{1}{2}P{F}_{2}=\frac{1}{2}（2a-P{F}_{1}）$=a-$\frac{1}{2}P{F}_{1}$，
a-$\frac{1}{2}P{F}_{1}$就是两圆的半径之差，故两圆内切．
故答案为：内切．

点评 本题考查了椭圆的性质，圆与圆的位置关系，属于中档题．