Question

已知抛物线C:y=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于 A，B两点，O为坐标原点。

（1）求·的值；（2）设=，求△ABO的面积S的最小值；

（3）在（2）的条件下若S≤，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）-3（2）2（3）≦≦

【解析】本试题主要是考查了直线与抛物线的位置关系的运用。以及向量的共线得到坐标关系，进而化简求解参数的范围。

（1）因为根据抛物线的方程可得焦点F（1,0），设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x可得y²-4my-4=0，集合韦达定理和向量的数量积为零得到求解。

（2）因为给定的向量关系式中，利用坐标相等得到关于参数的表达式，进而结合不等式的思想得到最值。

(3)由上一问可知，参数的范围。

解：⑴根据抛物线的方程可得焦点F（1,0），设直线l的方程为x=my+1，将其与C的方程联立，消去x可得-4my-4=0.

设A、B点的坐标分别为（，），（，）（﹥0﹥），则=-4.

因为=4，=4，所以==1，

故·=+=-3    ………………………………………………4分

(2)因为=，所以（1-，-）=（-1，）即  1-=-①

                                                            -=②

又=4③  =4④ ，由②③④消去，后，得到=，将其代入①，注意到﹥0，解得=。

从而可得=-，=2，故△OAB的面积S=·=

因为≧2恒成立,故△OAB的面积S的最小值是2………(8分).(3)由 ≦解之的≦≦    ………………………………………………12分