Question

15．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于点P
（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；
（Ⅱ）求二面角B-EC-A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，推导出四边形EFPG是平行四边形，由此能证明FP∥平面ECD．
（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-EC-A的大小．

解答 证明：（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，
∵点P为矩形ABCD对角线交点
∴在△ACD中，PG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF$\underset{∥}{=}$PG，
∴四边形EFPG是平行四边形，
∴FP∥EG，
又FP?平面ECD，EG?平面ECD，
∴FP∥平面ECD．
解：（Ⅱ）由题意，以AB所在直线为x轴，
AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），
∴$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{EC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），
取FB中点H，连结AH，则$\overrightarrow{AH}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），
∵$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{EC}$=0，
∴AH⊥平面EBC，
故取平面AEC法向量为$\overrightarrow{AH}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}$），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}=x+y-1=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AH}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AH}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AH}|}$=$\frac{1+\frac{1}{2}}{\sqrt{6}•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴二面角B-EC-A的大小为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．