Question

3．已知函数f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1处取得极大值10，则a+b的值为3．

Answer 1

分析 求得函数的导数，由题意可得f（1）=10，且f′（1）=0，解a，b的方程可得a，b的值，分别检验a，b，由极大值的定义，即可得到所求和．

解答 解：函数f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a的导数为f′（x）=3x²+2ax+b，
由在x=1处取得极大值10，可得
f（1）=10，且f′（1）=0，
即为1+a+b-a²-7a=10，3+2a+b=0，
将b=-3-2a，代入第一式可得a2+8a+12=0，
解得a=-2，b=1或a=-6，b=9．
当a=-2，b=1时，f′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），
可得f（x）在x=1处取得极小值10；
当a=-6，b=9时，f′（x）=3x²-12x+9=（x-1）（3x-9），
可得f（x）在x=1处取得极大值10．
综上可得，a=-6，b=9满足题意．
则a+b=3．
故答案为：3．

点评 本题考查导数的运用：求极值，注意运用极值的定义，考查化简整理的运算能力，注意检验，属于基础题和易错题．