Question

12．如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB，已知BC=2AD=2AB=2．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面DEC；
（Ⅱ）若二面角A-ED-B的大小为30°，求EC的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥EC，EC⊥BC，从而EC⊥平面ABCD，进而EC⊥BD，由勾股定理得BD⊥DC，由此能证明BD⊥平面DEC．
（Ⅱ）以B为原点，在平面BCE中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EC．

解答 证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EC，
又∵EC⊥BC，AB∩BC=B，∴EC⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴EC⊥BD，
由题意知在梯形ABCD中，有BD=DC=$\sqrt{2}$，
∴BD²+DC²=BC²，∴BD⊥DC，
又EC∩CD=C，∴BD⊥平面DEC．
解：（Ⅱ）如图，以B为原点，在平面BCE中过B作BC的垂线为x轴，
BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，
设$|\overrightarrow{EC}|$=a＞0，则B（0，0，0），E（a，2，0），A（0，0，1），C（0，2，0），D（0，1，1），
$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），$\overrightarrow{ED}$=（-a，-1，1），
设面AED的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=-ax-y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，a），
设面BED的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}={y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=a{x}_{1}+2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，令x₁=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-a，a），
∵二面角A-ED-B的大小为30°，
∴cos30°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+1}•\sqrt{2{a}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=1．（a=-1，舍），
∴EC=1．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．