Question

【题目】已知是定义在上的函数，记，的最大值为.若存在，满足，，，则称一次函数是的“逼近函数”此时的称为在上的“逼近确界”.

（1）验证是，的“逼近函数”；

（2）已知，，.若是的“逼近函数”，求a，b的值；

（3）已知，，求证；对任意常数a，b，.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）a．b；（3）见解析．

【解析】

（1）记G（x）＝2x2﹣（4x﹣1）＝2（x﹣1）2﹣1，x∈[0，2]．利用二次函数的单调性可得|G（x）|的最大值为1，且G（0）＝1，G（1）＝﹣1，G（2）＝1．

（2）F（x）（ax+b），由，可得M（a，b）＝b，a．存在x0∈（0，4）满足F（x2）＝M（a，b），即F（a，b）max＝F（x2）＝b，即可得出．

（3）M（a，b）|t﹣at2﹣b|．即可得出．

（1）记G（x）＝2x2﹣（4x﹣1）＝2（x﹣1）2﹣1，x∈[0，2]．则|G（x）|的最大值为1，

且G（0）＝1，G（1）＝﹣1，G（2）＝1．故y＝4x﹣1是g（x）＝2x2，x∈[0，2]的“逼近函数”．

（2）F（x）（ax+b），由，可得M（a，b）＝b，a．

存在x0∈（0，4）满足F（x2）＝M（a，b），即F（a，b）max＝F（x2）＝b，

即F（x）x﹣bb，故x2＝1．

由F（1）b＝b，可得b．

（3）证明：M（a，b）|t﹣at2﹣b

|．

当[0，2]时，2M（a，b）≥|b|+|2﹣4a﹣b|≥|2﹣4a|＞1，故M（a，b）．