Question

12．已知递增等差数列{a_n}中，a₁=1，a₁，a₄，a₁₀成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•3ⁿ}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a₄²=a₁₀计算可知公差d=$\frac{1}{3}$，进而计算可得结论；
（II）通过（I）可知a_n•3ⁿ=（n+2）•3^n-1，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由条件知a₄²=a₁₀，即（1+3d）²=1+9d，
解得：d=$\frac{1}{3}$或d=0（舍），
∴a_n=$\frac{1}{3}$n+$\frac{2}{3}$；
（II）∵a_n•3ⁿ=（n+2）•3^n-1，
∴S_n=3•3⁰+4•3+5•3²+…+（n+2）•3^n-1，
3S_n=3•3+4•3²+…+（n+1）•3^n-1+（n+2）•3ⁿ，
错位相减得：-2S_n=3+3+3²+…+3^n-1-（n+2）•3ⁿ
=3+$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（n+2）•3ⁿ
=$\frac{3}{2}$-（n+$\frac{3}{2}$）•3ⁿ，
∴S_n=$\frac{2n+3}{4}$•3ⁿ-$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．