Question

3．自点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x²+y²-4x-4y-1=0相交于MN，且|MN|=4，则光线l所在的直线方程为：x+2y-3=0或2x+y+3=0．

Answer 1

分析 由对称性和直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得．

解答 解：设直线l的斜率为k，则反射光线的斜率为-k且经过A关于x轴的对称点（-3，-3），
故反射光线的方程为y+3=-k（x+3），即kx+y+3k+3=0，
∵圆x²+y²-4x-4y-1=0的圆心为（2，2），半径为3，
|MN|=4，∴圆心（2，2）到直线kx+y+3k+3=0的距离d=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{|2k+2+3k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，解得k=-2或k=-$\frac{1}{2}$，
当k=-2时，直线方程为y-3=-2（x+3），即2x+y+3=0；
当k=-$\frac{1}{2}$时，直线方程为y-3=-$\frac{1}{2}$（x+3），即x+2y-3=0；
故答案为：x+2y-3=0或2x+y+3=0

点评 本题考查直线的对称性和直线与圆的位置关系，涉及分类讨论的思想，属中档题．