Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，当tan（A-B）取最大值时，则角C的值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 利用正弦定理，结合两角和的正弦公式展开可求tanA=3tanB，利用换元，结合基本不等式可求最大值取得的条件，从而可得解当tan（A-B）取最大值时，则角C的值．

解答 （本题满分为12分）
解：由acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，
可得：2sinAcosB-2sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
可得：sinAcosB=3sinBcosA，
可得：tanA=3tanB，…（4分）
设tanB=t，则tanA=3t且t＞0，可得：
tan（A-B）=$\frac{3t-t}{1+3{t}^{2}}$=$\frac{2t}{1+3{t}^{2}}$=$\frac{2}{3t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…（10分）
由此时t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：B=$\frac{π}{6}$，A=$\frac{π}{3}$，
故可得：C=$\frac{π}{2}$，
故选：D…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦公、两角差的正切公式在解三角形中的应用，基本不等式在求解函数最值中的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．