Question

5．设函数f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+x-a}$，（a∈R，e为自然对数的底数）． 若存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b成立．
（1）证明：f（b）=b；
（2）求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用反证法，即可证明．
（2）根据题意，问题转化为“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，即y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈[0，1]．由y=f（x）的图象与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]．因此，将方程化简整理得e^x=x²-x+a，记F（x）=e^x，G（x）=x²-x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）假设f（b）≠b，则f（b）＞b或f（b）＜b，
∵f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+x-a}$，（a∈R，e为自然对数的底数）．在其定义域为增函数，
∴f（f（b））＞f（b）或f（f（b））＜b，
这与f（f（b））=b成立相矛盾，
故假设不成立，
∴f（b）=b；
（2）由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b）
其中f^-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f^-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
根据$\sqrt{{e}^{x}+x-a}$=x，化简整理得e^x=x²-x+a
记F（x）=e^x，G（x）=x²-x+a，在同一坐标系内作出它们的图象，
可得$\left\{\begin{array}{l}{F（0）≤G（0）}\\{F（1）≥G（1）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{0}＜{0}^{2}-0+a}\\{e＞1-1+a}\end{array}\right.$，解之得1≤a≤e
即实数a的取值范围为[1，e]
故选：A

点评 本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题．