Question

13．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}}$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）已知点M曲线C₁上任意一点，求点M到曲线C₂的距离d的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数展开表达式，利用极坐标与直角坐标方程的互化求解即可．
（2）设M（4cosθ，3sinθ），表示出M到曲线C₂：x+y=5的距离，然后求解表达式的最值．

解答 解：（1）由$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$得ρcosθ+ρsinθ=5，
将ρcosθ=x，ρsinθ=y代入得到x+y=5…（5分）
（2）设M（4cosθ，3sinθ），M到曲线C₂：x+y=5的距离，$d=\frac{{|{4cosθ+3sinθ-5}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{5sin（{θ+φ}）-5}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{5\sqrt{2}|{sin（{θ+φ}）-1}|}}{2}$，
当sin（θ+φ）=1时，${d_{max}}=5\sqrt{2}$，当sin（θ+φ）=1时，d_min=0．所以$d∈[{0，5\sqrt{2}}]$…（10分）

点评 本题考查参数方程以及极坐标方程的应用，考查转化思想以及计算能力．