Question

16．已知△ABC中的内角A，B，C对边分别为a，b，c，$\sqrt{3}sin2A+2{cos^2}A=2$，$a=\sqrt{3}$．
（1）若$cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求b；
（2）若2sinB=sinC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式可得A，再利用同角三角函数基本关系式、正弦定理即可得出．
（2）由2sinB=sinC，利用正弦定理可得：2b=c，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，联立解出bc即可得出．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}sin2A+2{cos^2}A=2$，
∴$\sqrt{3}$sin2A+cos2A=1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A+$\frac{1}{2}$cos2A=$\frac{1}{2}$，
sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∵A∈（0，π），
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
由$cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，B∈（0，π），∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
可得b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（2）∵2sinB=sinC，∴2b=c，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴3=b²+c²-bc，与2b=c联立解得：b=1，c=2．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．