Question

8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）点P是线段EF上运动，且$\frac{EP}{PF}$=2，求三棱锥E-APD的体积．

Answer 1

分析 （1）根据平面几何知识计算AB，BD，根据勾股定理的逆定理得出AD⊥BD，由平面BFED⊥平面ABCD得出AD⊥平面BFED；
（2）以△PDE为棱锥的底面，则AD为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．

解答 （1）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，
∴AB=2．∴BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cos120°=3．
∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD．
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，AD?平面ABCD，DE⊥DB，
∴AD⊥平面BFED．
（2）∵四边形BFED为矩形，∴EF=BD=$\sqrt{3}$，DE=BF=1，
∵$\frac{EP}{PF}$=2，∴$PE=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
∴S_△PDE=$\frac{1}{2}PE•DE$=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴V_E-APD=V_A-PDE=$\frac{1}{3}{S}_{△PDE}•DE$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，选择恰当的底面和高是计算体积的关键．