Question

13．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=$\sqrt{3}$a．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=5，且a＞c，b=$\sqrt{7}$，求cos（2A+B）

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值，由B为锐角即可得解．
（2）由已知及余弦定理可得ac=6，联立即可解得a，c的值，由余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，进而利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，由两角和的余弦函数公式即可化简求值．

解答 解：（1）在△ABC中，由2bsinA=$\sqrt{3}$a，
根据正弦定理得：2sinBsinA=$\sqrt{3}$sinA，
∵sinA≠0（A为锐角），
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴由B为锐角，可得B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a+c=5，①b=$\sqrt{7}$，
∴利用余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，可得：7=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，解得：ac=6，②
∴由①②联立即可解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a=2}\end{array}\right.$（由a＞c，舍去），
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{7+4-9}{2×\sqrt{7}×2}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，sin2A=2sinAcosA=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，cos2A=2cos²A-1=-$\frac{13}{14}$，
∴cos（2A+B）=cos（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{13}{14}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=-$\frac{11}{14}$．

点评 此题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．