Question

2．曲线C：y=x³及其上一点P₁（1，1），过P₁作C的切线L₁，L₁与C的另一个公共点为P₂，过P₂作C的切线L₂，L₂与C的另一个公共点为P₃，…，依次下去得到C的一系列切线L₁，L₂，…，L_n，…，相应切点分别为P₁（a₁，a₁³），P₂（a₂，a₂³），…，P_n（a_n，a_n³），…
（1）确定a_n与a_n+1（n∈N+）关系，并求a_n
（2）设S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2|{a_n}|-1}}$（n∈N+），比较S_n与$\frac{n+1}{2}$大小，并用数学归纳法证明你的论断．

Answer 1

分析 （1）由曲线C：y=x³，求导得y′=3x²，k=3a_n²，同时k=$\frac{{{a_{n+1}}^3-{a_n}^3}}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=a_n+1²+a_n+1a_n+a_n²，联立解出利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．（n∈N+），可得：S_n≥$\frac{n+1}{2}$．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）由曲线C：y=x³，
求导得y′=3x²，k=3a_n²，
同时k=$\frac{{{a_{n+1}}^3-{a_n}^3}}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=a_n+1²+a_n+1a_n+a_n²，
∴a_n+1²+a_n+1a_n-2a_n²=0，解得a_n+1=-2a_n，
从而{a_n}为等比数列，首项a₁=1，公比q=-2，
故a_n=（-2）^n-1．
（2）S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2|{a_n}|-1}}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$．（n∈N⁺），
可得：S_n≥$\frac{n+1}{2}$．
下面利用数学归纳法证明．
①当n=1时，S₁=1=$\frac{1+1}{2}$，成立；
②假设当n=k∈N^*时，S_k$≥\frac{k+1}{2}$，
则当n=k+1时，S_k+1=S_k+$\frac{1}{{2}^{k}}+\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$≥$\frac{k+1}{2}$+$\frac{{2}^{k}+1}{{2}^{k+1}-1}$≥$\frac{k+1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{（k+1）+1}{2}$．
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：?n∈N^*，S_n≥$\frac{n+1}{2}$成立．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．