Question

3．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$，若将f（x）的图象先向由平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递减区间和对称中心．

Answer 1

分析 （1）由周期求得ω，由函数g（x）为奇函数求得φ和b的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的减区间，令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈z，求得x，即可解得函数的对称中心．

解答 解：（1）∵$\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）-b．
又g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+φ]-b+$\sqrt{3}$为奇函数，且0＜φ＜π，则φ=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
故f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈z，求得：x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函数的对称中心为：（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，-$\sqrt{3}$），k∈Z，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得：$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+kπ，（k∈Z），
故函数的减区间为[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]（k∈Z）．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数的奇偶性，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．