Question

14．已知f（x）=x²-3，g（x）=me^x，若方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，则m的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{6}{e^3}）$
• B． $（-3，\frac{6}{e^3}）$
• C． $（-2e，\frac{6}{e^3}）$
• D． （0，2e）

Answer 1

分析 设f（x）与g（x）的共同切线的切点为（x₀，y₀），根据导数求出切点，即可求出m的值，结合图象可知m的取值范围．

解答 解：设f（x）与g（x）的共同切线的切点为（x₀，y₀），
∵f（x）=x²-3，g（x）=me^x，
∴f′（x）=2x，g（x）=me^x，
∴f′（x₀）=g′（x₀），f（x₀）=g（x₀），
∴2x₀=$m{e}^{{x}_{0}}$，x₀²-3=$m{e}^{{x}_{0}}$，
∴x₀=x₀²-3，
解得x₀=3，或x₀=-1（舍去）
当x₀=3，
∴6=me³，即m=$\frac{6}{{e}^{3}}$，
∵方程f（x）=g（x）有三个不同的实根，由图象可知，
∴0＜m＜$\frac{6}{{e}^{3}}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数与方程的思想，属于中档题．