Question

2．交通指数是指交通拥堵指数或交通运行指数（Traffic Performance Index，即“TPI”），是反应道路畅通或拥堵的概念性数值，交通指数的取值范围为0～10，分为五级：0～2畅通，2～4为基本畅通，4～6轻度畅通，6～8为中度拥堵，8～10为严重拥堵．高峰时段，巴中市交通指挥中心随机选取了市区40个交通路段，依据交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）  求出图中x的值，并计算这40个路段中为“中度拥堵”的有多少个？
（Ⅱ） 在我市区的40个交通路段中用分层抽样的方法抽取容量为20的样本．从这个样本路段的“基本畅通”和“严重拥堵”路段中随机选出2个路段，求其中只有一个是“严重拥堵”路段的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用所有的频率和为1，频率等于纵坐标乘以组距即可解得x的值，由频率分布直方图可知底×高=频率，频数×40=个数，即可得出结论；
（Ⅱ）考查古典概型，一一列举所有满足条件的基本事件，利用概率公式求得．

解答 （本题满分为12分）
解：（ I）由已知有 0.05×3+0.10×2+0.15×1+0.20×1+x×1=1，
所以x=0.30；
∵40×（0.20×1+0.30×1）=20，
∴这40个路段中为“中度拥堵”的有20个．
（ II） 由（1）可知：
容量为20的样本中“基本畅通”与“严重拥堵”路段分别为2个，3个记2个“基本畅通”与3个“严重拥堵”的路段分别为A₁，A₂；B₁，B₂，B₃；
从中随机选出2个路段的基本情况为：
（A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₂，B₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃）共10个，
其中只有一个是“严重拥堵”路段为：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），共6个，
所以只有一个是“严重拥堵”路段的概率$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

点评 本题主要考查了频率分布直方图的应用、分层抽样和古典概型的概率的求法，属于基础题．