Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（1+$\frac{b}{2}$）x²+2bx在区间（-3，1）上是减函数，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-3]
• B． （-∞，1]
• C． [1，2]
• D． [-3，+∞）

Answer 1

分析 若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（1+$\frac{b}{2}$）x²+2bx在区间（-3，1）上是减函数，则f′（x）=x²-（2+b）x+2b=（x-b）（x-2）＜0在区间（-3，1）上恒成立，进而得到答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（1+$\frac{b}{2}$）x²+2bx在区间（-3，1）上是减函数，
∴f′（x）=x²-（2+b）x+2b=（x-b）（x-2）＜0在区间（-3，1）上恒成立，
即（-3，1）⊆（b，2），
解得：b≤-3，
实数b的取值范围是（-∞，-3]，
故选：A

点评 本题考查的知识点是利用导数解答函数的单调性问题，难度中档．