Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜-1}\\{{x}^{2}+3x，x≥-1}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）当x∈（0，2]时，f（x）≥mx-2（m∈R）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据分段函数的表达式，利用分类讨论的思想解解不等式f（x）＜4即可；
（Ⅱ）利用参数分离法将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，结合基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）若x＜-1，则由f（x）＜4得（$\frac{1}{2}$）^x＜4得x＞-2，此时-2＜x＜-1，
当x≥-1时，则由f（x）＜4得x²+3x＜4得-4＜x＜1，此时-1≤x＜1，
综上-2＜x＜1，即不等式的解集为（-2，1）
（Ⅱ）当x∈（0，2]时，f（x）≥mx-2（m∈R）恒成立，
等价为当x∈（0，2]时，x²+3x≥mx-2（m∈R）恒成立，
即x²+3x+2≥mx，
则m≤x+$\frac{2}{x}$+3在x∈（0，2]时成立，
∵x+$\frac{2}{x}$+3≥3+2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\frac{2}{x}$，即x=$\sqrt{2}$时取等号，
∴a≤3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查不等式的求解以及不等式恒成立问题，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．结合参数分离法转化为求最值问题是解决本题的关键．恒成立问题的常用方法．