Question

8．曲线C：y=$\sqrt{x}$在点（1，1）处的切线为l，则直线l、曲线C及x轴围成的封闭图形的面积为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率和切线的方程，求出与x轴的交点坐标，求出面积的表达式，确定被积函数与被积区间，求出原函数，计算即可得到结论．

解答 解：曲线C：y=$\sqrt{x}$的导数为y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
可得在点x=1处的切线斜率为$\frac{1}{2}$，切点为（1，1），
则切线的方程为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$与x轴的交点为（-1，0），
所以由曲线C、直线l及x轴围成的封闭图形的面积是
S=$\frac{1}{2}$•2•1-${∫}_{0}^{1}\sqrt{x}$dx=1-$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$|${\;}_{0}^{1}$=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积．