Question

16．已知等差数列{a_n}满足，a₂+a₇+a₈+a₁₁=48，a₃：a₁₁=2：1
（1）求数列{a_n}的前11项和：
（2）求T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|；
（3）S_n为{a_n}的前n项和，当n取何值S_n时取到最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）由（1）可得：a_n=19-n．设S_n为{a_n}的前n项和，由a_n≥0可得：n≤19．当n≤19时，T_n=S_n．当n≥20时，T_n=S₁₉-a₂₀-a₂₁-…-a_n=2S₁₉-S_n．（3）由（2）可知：当n≤19，a_n≥0；当n≥20时，a_n＜0．即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂+a₇+a₈+a₁₁=48，a₃：a₁₁=2：1．
∴4a₁+24d=48，a₁+2d=2（a₁+10d），
联立解得：a₁=18，d=-1．
∴数列{a_n}的前11项和=11×18-$\frac{11×10}{2}$=143．
（2）由（1）可得：a_n=18-（n-1）=19-n．
设S_n为{a_n}的前n项和，则S_n=$\frac{n（18+19-n）}{2}$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{37}{2}n$．
由a_n=19-n≥0可得：n≤19．
∴当n≤19时，T_n=S_n=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{37}{2}n$．
当n≥20时，T_n=S₁₉-a₂₀-a₂₁-…-a_n
=2S₁₉-S_n
=$2×（-\frac{1}{2}×1{9}^{2}+\frac{37}{2}×19）$-（$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{37}{2}n$）
=342+$\frac{1}{2}{n}^{2}$-$\frac{37}{2}$n．
（3）由（2）可知：当n≤19，a_n≥0；当n≥20时，a_n＜0．
∴当n=19时，S_n时取到最大值，最大值为S₁₉=$-\frac{1}{2}×1{9}^{2}$+$\frac{37}{2}×19$=171．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法、绝对值数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．