Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3^x}，x≥0\\ 3x+1，x＜0\end{array}\right.$，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（　　）

• A． （-3，0）
• B． （-$\frac{1}{3}$，1）
• C． （0，2）
• D． （-$\frac{1}{3}$，log₃2）

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，讨论f（x）的符号，将不等式进行转化求解即可．

解答 解：由3x+1=0得x=-$\frac{1}{3}$，
当x＜-$\frac{1}{3}$时，3x+1＜0，则由f（f（x））＜4f（x）+1得f（3x+1））＜4（3x+1）+1，
即3（3x+1）+1＜12x+4+1，
即9x+4＜12x+5，
得x＞-$\frac{1}{3}$，此时不等式无解，
当x≥0时，f（x）=3^x≥1，
则由f（f（x））＜4f（x）+1得${3}^{{3}^{x}}$＜4•3^x+1，
设t=3^x，
则不等式等价为3^t＜4t+1，
设g（t）=3^t-4t-1，则g（0）=0，g（2）=9-8-1=0，
即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3^x＜2，
得0≤x＜log₃2，
当-$\frac{1}{3}$≤x＜0时，f（x）=3x+1≥0，
则f（f（x））=3^3x+1，
则由f（f（x））＜4f（x）+1得3^3x+1＜4（3x+1）+1，
设t=3x+1，则不等式等价为3^t＜4t+1，
设g（t）=3^t-4t-1，则g（0）=0，g（2）=9-8-1=0，
即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x+1＜2，
即-1＜3x＜1，得-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$，
此时-$\frac{1}{3}$＜x＜0，
综上所述，-$\frac{1}{3}$＜x＜log₃2．
即不等式的解集为（-$\frac{1}{3}$，log₃2），
故选：D

点评 本题主要考查不等式的求解，利用分类讨论的数学思想将不等式进行转化为分段函数性质，利用换元法进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．