Question

6．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{y-x≤2}\end{array}\right.$，且目标函数z=mx+y．
（Ⅰ）若z的最小值为0，则m=-1；
（Ⅱ）若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围为（-2，1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，分类代入目标函数求得m的值；
（Ⅱ）由题意求得直线y=-mx+z的斜率的范围，得到m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤1}\\{x+y≥2}\\{y-x≤2}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{2x-y=1}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-x=2}\\{2x-y=1}\end{array}\right.$，解得B（3，5），
C（0，2），
化目标函数z=mx+y为y=-mx+z，
由图可知，当m＜0时，使目标函数取得最小值的最优解为A（1，1）或B（3，5），
把A（1，1）代入z=mx+y=0，求得m=-1．
把B（3，5）代入z=mx+y=0，求得m=-$\frac{5}{3}$，不合题意；
当m＞0时，使目标函数取得最小值的最优解为A（1，1）或C（0，2），
把A（1，1）代入z=mx+y=0，求得m=-1，不合题意．
把B（0，2）代入z=mx+y=0，得2=0（舍）．
∴若z的最小值为0，则m=-1；
（Ⅱ）若z仅在点（1，1）处取得最小值，
则-1＜-m＜2，得-2＜m＜1．
∴若z仅在点（1，1）处取得最小值，则m的取值范围为（-2，1）．
故答案为：（Ⅰ）-1；（Ⅱ）（-2，1）．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．