Question

1．设m为实数，函数f（x）=2x²+（x-m）|x-m|，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{f（x）}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$
（1）若f（1）≥4，求m的取值范围；
（2）若m＞0，对一切x∈[1，2]，不等式h（x）≥1恒成立，求正实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=1代入后对m的值进行讨论即可．
（2）转化为二次函数，从而根据二次函数的单调性解出实数m的范围．

解答 解：（1）f（1）=2+（1-m）|1-m|≥4
当m＞1时，（1-m）（m-1）≥2，无解；
当m≤1时，（1-m）（1-m）≥2，解得m≤1-$\sqrt{2}$．
所以m≤1-$\sqrt{2}$．
（2）①m＜1时，x∈[1，2]，f（x）=2x²+（x-m）（x-m）=3x²-2mx+m²，
h（x）=$\frac{f（x）}{x}≥1$恒成立，∴f（x）≥x恒成立，
即：g（x）=3x²-（2m+1）x+m²≥0
由于y=g（x）的对称轴为x=$\frac{2m+1}{6}$＜1
故g（x）在[1，2]为单调递增函数，
故g（1）≥0，
∴m²-2m+2≥0．
所以m＜1．
②当1≤m≤2时，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{{m}^{2}}{{x}^{\;}}+2m\;\;\;1≤x≤m}\\{3x+\frac{{m}^{2}}{{x}^{\;}}-2m\;\;m＜x≤2}\end{array}\right.$
易证y=x-$\frac{{m}^{2}}{{x}^{\;}}$+m在[1，m]为递增，
由②得y=3x+$\frac{{m}^{2}}{x}-2m$在[m，2]为递增，
所以，h（1）≥1，即0≤m≤2，
所以1≤m≤2．
③当m＞2时，h（x）=x-$\frac{{m}^{2}}{{x}^{\;}}$+2m（无解）
综上所述m≤2．

点评 本题主要考查表达式的求解以及不等式恒成立问题，利用分类讨论结合一元二次函数单调性的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．