Question

3．若函数f（x）=x³+2x²+x+a的零点成等差数列，则a=$\frac{2}{27}$．

Answer 1

分析 利用导数研究函数的单调性与极值，由于函数f（x）=x³+2x²+x+a的零点成等差数列，可得极大值与极小值满足的条件．

解答 解：f′（x）=3x²+4x+1=0，
令f′（x）=0，解得x=-1或-$\frac{1}{3}$．
可知：-1或-$\frac{1}{3}$分别是函数f（x）的极大值点与极小值点．
∵函数f（x）=x³+2x²+x+a的零点成等差数列，
∴$f（-\frac{1}{3}）+f（-1）$=0，
∴$（-\frac{1}{3}）^{3}$+2×$（-\frac{1}{3}）^{2}$-$\frac{1}{3}$+a+（-1）³+2×（-1）²-1+a=0，
解得a=$\frac{2}{27}$．
故答案为：$\frac{2}{27}$．

点评 本题考查了等差数列的性质、利用导数研究函数的极值、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．