Question

8．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF为等腰梯形，且AB∥EF，AF=2，EF=2AB=4AD=4$\sqrt{2}$，平面ABCD⊥平面ABEF．
（1）求证：BE⊥DF；
（2）求二面角E-DF-A的大小．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，求出BE，和DF的向量坐标，利用向量法极限证明即可；
（2）利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（1）AF=2，EF=2AB=4AD=4$\sqrt{2}$，
∴EF=4$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，
过A作AH⊥EF，
则HF=$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{2}$，
建立以A为坐标原点，AB，AH，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（0，0，0），B（2$\sqrt{2}$，0，0），H（0，$\sqrt{2}$，0），F（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），D（0，0，$\sqrt{2}$），
E（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），
则$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DF}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
则$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{DF}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0）•（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）=-2+2=0，
则BE⊥DF．
（2）设平面EDF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{EF}$=（-4$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{DF}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
则由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{EF}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DF}$=0，$\left\{\begin{array}{l}{-4\sqrt{2}x=0}\\{-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=z}\end{array}\right.$
令z=1，则y=1，则$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
同理设平面DFA的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AD}$=（0，0，$\sqrt{2}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}z=0}\\{-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{y=x}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
即＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞60°，
即二面角E-DF-A的大小为60°．

点评 本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．