Question

18．已知在△ABC中，sinA与sinB的等差中项为$\frac{7}{10}$．等比中项为$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，则sinC+sin（A-B）=$\frac{18}{25}$或$\frac{32}{25}$．．

Answer 1

分析 由条件利用等差中项、等比中项的定义和性质求得sinA、sinB的值，可得cosA、cosB的值，再利用两角和差的正弦公式、诱导公式求得sinC+sin（A-B）的值．

解答 解：△ABC中，∵sinA与sinB的等差中项为$\frac{7}{10}$，等比中项为$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
∴sinA+sinB=$\frac{7}{5}$，sinA•sinB=$\frac{12}{25}$，∴sinA=$\frac{3}{5}$、sinB=$\frac{4}{5}$，或 sinA=$\frac{4}{5}$、sinB=$\frac{3}{5}$，
∴当sinA=$\frac{3}{5}$、sinB=$\frac{4}{5}$ 时，cosA=$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
sinC+sin（A-B）=sin（A+B）+sin（A-B）=2sinAcosB=2•$\frac{3}{5}$•$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{25}$．
∴当sinA=$\frac{4}{5}$、sinB=$\frac{3}{5}$，cosA=$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$．
sinC+sin（A-B）=sin（A+B）+sin（A-B）=2sinAcosB=2•$\frac{4}{5}$•$\frac{4}{5}$=$\frac{32}{25}$，
故答案为：$\frac{18}{25}$或$\frac{32}{25}$．

点评 本题主要考查等差中项、等比中项的定义和性质，两角和差的正弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．