Question

20．某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60，90]（单位：克），脂肪的摄入量控制在[18，27]（单位：克）．某学校食堂提供的伙食以食物A和食物B为主，1千克食物A含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物B含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元．
（Ⅰ）如果某学生只吃食物A，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；
（Ⅱ）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物A和食物B各多少千克？并求出最低需要花费的钱数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如果学生只吃食物Axkg，从而得不等式组$\left\{\begin{array}{l}{60≤60x≤90}\\{18≤9x≤27}\end{array}\right.$，是否有解即可；
（Ⅱ）由题意，设学生每天吃食物Axkg，食物Bykg；从而得到目标函数z=20x+15y；线性约束条件$\left\{\begin{array}{l}{60≤60x+30y≤90}\\{18≤9x+27y≤27}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，从而利用线性规划求解即可．

解答 解：（Ⅰ）如果学生只吃食物Axkg，
则$\left\{\begin{array}{l}{60≤60x≤90}\\{18≤9x≤27}\end{array}\right.$，
无解，
故不符合营养学家的建议；
（Ⅱ）由题意，设学生每天吃食物Axkg，食物Bykg；
则z=20x+15y；
$\left\{\begin{array}{l}{60≤60x+30y≤90}\\{18≤9x+27y≤27}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$
作平面区域如下，
，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3y}\\{y=2-2x}\end{array}\right.$解得，x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{2}{5}$；
故z=20×$\frac{4}{5}$+15×$\frac{2}{5}$=22；
答：学生每天吃0.8千克食物A，0.4千克食物B，既能符合营养学家的建议又花费最少．
最低需要花费22元．

点评 本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于中档题．