Question

5．在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′-ABC，且使$C'D=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：平面C′AB⊥平面DAB；
（Ⅱ）求二面角A-C′D-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点O，连C′O，DO，通过就是证明C′O⊥OD，证明C′O⊥平面ABD，然后证明平面C′AB⊥平面DAB．
（2）以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
求出平面AC′D的法向量，平面BC′D的法向量，利用向量的数量积求解二面角A-C′D-B的余弦值．

解答 解：（1）取AB的中点O，连C′O，DO，
在RT△ACB，RT△ADB，AB=2，则C′O=DO=1，又，∴C′O²+DO²=C′D²，即C′O⊥OD，…（2分）
又，AB∩OD=O，AB，OD?平面ABD∴C′O⊥平面ABD，…（4分）
又C′O?平面ABC′∴平面C′AB⊥平面DAB…（5分）
（2）以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y，z轴，建立如图空间直角坐标系，

则$A（0，-1，0），B（0，1，0），C′（0，0，1），D（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，0）$，
∴$\overrightarrow{AC′}=（0，1，1），\overrightarrow{BC′}=（0，-1，1），\overrightarrow{C′D}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，-1）$…（6分）
设平面AC′D的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}⊥\overrightarrow{AC′}\\ \overrightarrow{n_1}⊥\overrightarrow{C′D}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC′}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{C′D}=0\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{z_1}=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}-{z_1}=0\end{array}\right.$，
令z₁=1，则y₁=-1，${x_1}=\sqrt{3}$，∴$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，-1，1）$…（8分）
设平面BC′D的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}⊥\overrightarrow{BC′}\\ \overrightarrow{n_2}⊥\overrightarrow{C′D}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BC′}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{C′D}=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}-{y_2}+{z_2}=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_2}+\frac{1}{2}{y_2}-{z_2}=0\end{array}\right.$，
令z₂=1，则y₂=1，${x_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$\overrightarrow{n_2}=（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1，1）$…（10分）
∴$cos\left?{\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}}\right＞=\frac{{\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}+（-1）×1+1×1}}{{\sqrt{3+1+1}•\sqrt{\frac{1}{3}+1+1}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{7}{3}}}}=\frac{{\sqrt{105}}}{35}$，
二面角A-C′D-B的余弦值为${-}\frac{{\sqrt{105}}}{35}$．…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理，考查空间想象能力以及计算能力．